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%
% basado en la versión 1997-04-20
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%     Lista de cambios
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% n.  [autor]; Sec ; Parrafo #.
%     Decia: '''';
%     Dice: '''';
%     Comentario: [opcional]
%     Fecha: aaaa-mm-dd
%
% 1.  Samuel; Muchísimos cambios.
%     Enumerar los cambios que se han hecho a este capítulo  resultará totalmente impráctico, así
%     que sólo nombraré los más importantes.
%     Se hicieron todas las figuras, se quitaron las palabras "izquierda" y "derecha" en aquellas
%     frases en las que se hacía mención a alguna de estas figuras.
%     En la sección 2, parrafo "Pero una partícula que no esté en el centro mismo de la gota..." se
%     separo la ecuación F1=K/(R+z)^2 y se numero porque al parecer es a la que se hace referencia
%     más adelante (todavía tengo que volver a reviar esto).
%     Fecha: 2007-12-19
%
% 2. Samuel, Se hicierón los cambios sugeridos en la reunión del 8 de enero de 2008. Se quitó la sección 3, el problema de las tres partículas, como se sugirió
%     para trasladarla al capítulo VII.
%    Fecha 2008-01-14
% ------------------------------------------------------------
\chapter{Ya en el siglo XX}

\section{Principio de Equivalencia}

La naturaleza  no distingue entre masas inerciales y gravitacionales. 
Tanto es as\'{\i} que Ohanian,
\marginpar{H.C. Ohanian\\
``Gravitation and\\
Spacetime''\\
W.W Norton and Co,\\
p\'agina 41.\\}
pr\'acticamente al comienzo de su obra acerca de 
gravitaci\'on relativista, dice: ``basaremos nuestro desarrollo de la 
teor\'{\i}a gravitacional en la muy precisa e inequ\'{\i}voca igualdad 
$m_i = m_g $. Esta igualdad es necesaria ---y en gran medida 
suficiente--- para construir una teor\'{\i}a relativista de la 
gravitaci\'on.''

Al estudiar la aceleraci\'on de una part\'{\i}cula de masa inercial 
$m_i$ en un campo gravitatorio, escribimos 
%
$$  m_i \vec a = \frac{-GMm_g}{R^3} \vec R $$ 

Si a sangre fr\'{\i}a cancelamos la masa inercial que aparece a la 
izquierda, con la masa gravitacional que aparece a la derecha,
estamos procediendo bien, pues desde los tiempos de Galileo sabemos
que todas las part\'{\i}culas, independientemente de sus masas,
caen con la misma aceleraci\'on  \hbox{$ \vec a = 
(-GM/R^3)\vec R $ }. A esto se lo llama principio de 
equivalencia de Galileo, pues impl\'{\i}ca  que en 
los sistemas de referencia acelerados, las llamadas \textsf{fuerzas
inerciales}  se comportan igual que las gravitacionales.


Quien haya le\'{\i}do alg\'un libro de divulgaci\'on sobre 
relatividad, seguramente se ha encontrado con la historia del ascensor 
que cae libremente porque se le cort\'o el cable y  con  la consecuente 
discusi\'on acerca de la f\'{\i}sica dentro  de ese elevador, 
repentinamente convertido en bajador. 
La principal moraleja 
que se intenta transmitir con esta historia es que, en sus efectos,
 {\sl los campos gravitacionales 
son indistinguibles de los efectos de una aceleraci\'on del sistema de 
referencia.} El ejemplo del elevador tiene su origen en 
don Alberto Einstein, quien, en su primer trabajo acerca de 
relatividad general, lo explica as\'{\i}: 

\marginpar{A. Einstein\\ Ann. der Physik\\ 49, 769, (1916)\\}       
Sea K un sistema de referencia tal que, con 
respecto a \'el, cualquier masa suficientemente alejada de otras, 
tenga un movimiento acelerado  y que tanto el tama\~no como la direcci\'on 
de sus aceleraciones sean independientes de su composici\'on material y de su 
estado f\'{\i}sico.

¿Permite esto (a un observador en 
reposo respecto a K) llegar a la conclusi\'on que \'el est\'a en un 
sistema de referencia ``realmente acelerado''? La respuesta es 
negativa, porque el comportamiento reci\'en descrito para las masas 
que se pueden mover libremente, respecto a K, igualmente bien puede 
interpretarse  de la siguiente manera: el sistema de referencia K  no 
est\'a acelerado, pero la regi\'on de espacio-tiempo que consideramos,
est\'a bajo el influjo de un campo gravitatorio que provoca la 
aceleraci\'on  de los cuerpos respecto a K.

\begin{figure}[!h]
\centering{\includegraphics[scale=0.4]{grav/cap06_fig01}}
\caption{Principio de equivalencia.\label{cap6:f1}}
\end{figure}

Veamos un ejemplo concreto: el laboratorio de la izquierda 
est\'a (m\'agicamente) en reposo, pero all\'a,  m\'as hacia su  
izquierda,  hay una  gran  masa (una estrella, digamos), que atrae
todo lo que encuentra a su paso. Todo  esto es para  describir a un 
laboratorio en reposo, pero sumergido en un campo gravitatorio. Si el 
laboratorio no es demasiado grande, es decir, si sus dimensiones son  
despreciables  comparadas  con  la distancia a la  estrella, entonces 
todas  las part\'{\i}culas que est\'en en este laboratorio  tendr\'an  
la misma aceleraci\'on. La aceleraci\'on ser\'a la misma por dos 
razones:  i)  como  el  laboratorio es de  peque\~nas dimensiones,  
en su interior el campo es uniforme;   y   ii)  las  masas inerciales  
son iguales  a las gravitacionales. 

Por  el contrario, en  el caso del laboratorio de la derecha, supondremos que 
est\'a  en   una  regi\'on  en donde  no existe campo 
gravitatorio alguno, pero todo el laboratorio est\'a   siendo 
\underbar{acelerado}  por alg\'un ocioso que le aplica una fuerza 
horizontal hacia la derecha. 

La gran pregunta es:  ¿existe  alg\'un  experimento  que 
a  los  f\'{\i}sicos que trabajan dentro del laboratorio sin ventanas,
les permita descubrir si est\'an en la situaci\'on del lado izquierdo o en la del 
lado derecho?

La respuesta de Einstein es  negativa: 

\begin{angosto}
Ein in einem Kasten 
eingeschlossener Beobachter, kann auf keine Weise entscheiden ob der 
Kasten sich ruhend in einem Gravitationsfelde befindet, oder ob sich 
der Kasten in einem  von Gravitationsfeldern freien Raume in 
beschleunigter Bewegung ist, die durch Kr\''afte an der Kasten aufrecht 
erhalten wird.
\end{angosto}

O dicho en cristiano:

\begin{angosto}
Un observador encerrado en una caja, no puede, de ninguna 
manera distinguir si la caja se encuentra en reposo en un campo 
gravitacional, o si la caja se encuentra en una regi\'on  libre de campo
gravitacional, pero est\'a siendo acelerada por alguien  que le aplica
una fuerza
\end{angosto}

Imaginemos una gran caja sin ventanas que se mueve hacia la derecha, 
con aceleraci\'on constante respecto a un sistema de referencia inercial 
y pensemos  en algunos experimentos que un ``observador'' encerrado
en ella podr\'{i}a hacer para saber si est\'a
sumergido en un campo gravitacional uniforme (hacia la izquierda)  o si
 est\'a movi\'endose junto con un sistema de referencia acelerado 
hacia la derecha.

Consideremos algunos experimentos posibles:
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] \textsf{Tomar una canica y soltarla.}
\item[] Ver\'{i}a que la canica acelera hacia la izquierda, con aceleraci\'on
de tama\~no $\vert  \vec a \vert . $

\item[$\bullet$] \textsf{Tomar otra canica de mayor masa y soltarla.}
\item[] Ver\'{i}a que esta canica tambi\'en acelera hacia la izquierda, 
con la misma aceleraci\'on de tama\~no $\vert \vec a \vert .$

\item[$\bullet$] \textsf{Colocar una canica en el piso del 
laboratorio y ponerla a rodar.}

\item[$\bullet$] \textsf{Hacer experimentos con un gir\'oscopo
para detectar su precesi\'on.}

\item[$\bullet$] \textsf{Lanzar un rayo de luz en direcci\'on
ortogonal con $ \vec a.$ }
\end{itemize}

En todos estos experimentos se obtienen los mismos
resultados, asi que
los efectos de un campo gravitatorio homog\'eneo
 y de una aceleraci\'on constante son 
equivalentes. A este  famoso enunciado   se lo  llama   {
principio  de equi\-va\-lencia de Galileo--Einstein}. 

Aunque lo dijo don Alberto, de todos modos nos preguntamos: ¿es 
cierto todo \'esto?  Ya sabemos que s\'{\i}, al menos para ``cajas'' peque\~nas 
y campos gravitacionales uniformes. As\'{\i} lo consideramos al discutir 
los sistemas de referencia acelerados y las famosas fuerzas que en 
ellos tenemos que agregar si  persistimos en utilizar  las leyes de 
Newton. 

\begin{figure}
\centering{\includegraphics[scale=0.3]{grav/cap06_fig02}}
\caption{Un laboratorio que cae. La distancia de cada canica al centro de la Tierra es igual a $R+h$.\label{cap6:f2}}
\end{figure}

Consideremos un par de casos especiales. Un laboratorio bastante largo
cae  hacia la Tierra. Si en ambos extremos del laboratorio se sueltan
canicas, se ver\'a que durante la ca\'{\i}da las canicas aceleran una hacia 
la otra.

Una interpretaci\'on: las canicas se atraen. Pero ciertamente no se
trata de la fuerza $ Gmm/(l)^2 $, sino de otra, que nosotros,
mirando desde afuera, dir\'{\i}amos  que es una componente
de la fuerza de atracci\'on entre Tierra y canica
%
\begin{align}
F &= \frac{GMm}{(R+h)^2} \sen \theta \notag \\
F &\approx \frac{GMm}{r^3} \frac{l}{2};\qquad con\qquad r=R+h.
\end{align}
%
N\'otese la aparici\'on del cubo de $r$.

Vamos a generalizar un poco a \'este ejemplo. Un malabarista
que viaja en un sat\'elite terrestre,
ha colocado ocho canicas en los v\'ertices de un oct\'agono.
inscrito en una circunferencia.
Todas estas part\'{\i}culas se mueven junto con la nave espacial, 
pero notemos que las distancias de estas part\'{\i}culas al centro de 
la Tierra en general no son iguales. Por ejemplo, la part\'{\i}cula
1 est\'a m\'as alejada que la part\'{\i}cula 5, de modo que las
fuerzas que act\'uan sobre ellas no son iguales. Desde el centro de
la circunferencia veremos alejarse a ambas, como si el centro las
repeliese. Si la nave espacial se encuentra a la distancia R del centro
de la Tierra, entonces el campo en el centro del oct\'agono es
%
\begin{align*}
F = \frac{GMm}{R^2}
\end{align*}
%
y el cambio de este valor, cuando nos alejamos o acercamos en
$dR = dz $  es
%
\begin{align*}
dF = -2\frac{GMm}{R^3}dz.
\end{align*}
%
Esta fuerza aparece en la explicaci\'on de las \textsf{mareas},
de aqu\'{\i} el nombre de {\sl fuerza mareal}. N\'otese que el
origen de esta fuerza est\'a en que, dentro de la nave, el campo
gravitacional no es uniforme.

\begin{figure}[!h]
\centering{\includegraphics[scale=0.4]{grav/cap06_fig03}}
\caption{Configuraci\'on de las canicas en \'orbita. Se han dibujado las componentes de la fuerza radial sobre cada canica de manera esquem\'atica.\label{cap6:f3}}
\end{figure}

No es \'esta la \'unica fuerza mareal. Tambi\'en existen fuerzas
laterales, como la que aparece al analizar el caso de las dos canicas
colocadas en los extremos de un largo laboratorio.

Debido a estas fuerzas, las canicas colocadas sobre una circunferencia
ya no estar\'an en ella, si no que habr\'an adoptado una posici\'on como
la que aparece en la figura siguiente.

\begin{figure}[!h]
\centering{\includegraphics[scale=0.4]{grav/cap06_fig04}}
\caption{Deformaci\'on debida a fuerzas mareales.\label{cap6:f4}}
\end{figure}

Aparentemente, el principio de equivalencia asegura que no hay experimentos
que distingan entre un campo gravitacional uniforme y una aceleraci\'on.
En el caso de la c\'apsula 
espacial en \'orbita cercana a la Tierra, ella se mueve en un campo 
no--uniforme y las fuerzas mareales 
indican, inequ\'{\i}vocamente, que no se trata de una aceleraci\'on sino 
de un campo gravitacional. El campo mareal puede medirse \textsf{
localmente}, es decir,  
puede detectarse sin mirar por la ventana. Estar\'{\i}amos entonces 
ante un contra--ejemplo, una situaci\'on particular en donde, sin mirar por la 
ventana, podemos distinguir entre un campo gravitatorio y una 
aceleraci\'on. 

La manera convencional de analizar el problema del ascensor en 
ca\'{\i}da, es como sigue: no es posible ``cancelar'' cualquier 
campo gravitacional, en toda su extensi\'on y durante todo el tiempo. 
En primera aproximaci\'on ---si nos olvidamos de las fuerzas 
mareales--- podemos pensar que, en el interior del ascensor, el 
campo es nulo. Pero si pensamos que nuestro sistema de coordenadas se extiende 
hasta el otro lado de la Tierra, ver\'{\i}amos que nuestros colegas de las 
ant\'{\i}podas aceleran hacia nosotros, de modo que solamente 
habr\'{\i}amos conseguido una cancelaci\'on local del campo 
gravitatorio. El observador, en el ascensor que cae, ha conseguido hacer 
desaparecer el campo dentro de su laboratorio, pero solamente a costa 
de apilarlo en otro lado. Parece entonces que la gravitaci\'on es 
removible localmente, pero las aceleraciones son removibles en todas 
partes. El ejemplo m\'as com\'un ser\'{\i}a el de la fuerza 
centr\'{\i}fuga: si estamos sobre la Tierra girando junto a ella, a 
todo el espacio tenemos que atribuirle un campo centr\'{\i}fugo; si nos 
bajamos de este sistema de referencia y adoptamos uno que no gira, 
entonces el campo centr\'{\i}fugo desaparece en todas partes,
simultane\'amente (!). 

Eddington  no estaba de acuerdo con esta interpretaci\'on, que 
presupone que {\sl gra\-vi\-taci\'on} y {\sl fuerza centr\'{\i}fuga} 
puedan distinguirse experimentalmente, idea que  no compart\'{\i}a. 
Como solamente es observable la suma de la fuerza de gravitaci\'on y 
la centr\'{\i}fuga, ning\'un observador puede cancelar la totalidad de 
la fuerza en todas partes y todos tendr\'{\i}an que contentarse con 
dejar 
alg\'un residuo. Es cierto que la separaci\'on entre fuerza centr\'{\i}fuga y 
gravitaci\'on es conveniente cuando llega el momento de calcular; pero 
es solamente eso, una conveniencia.

\marginpar{Arthur Eddington\\ Space, time and\\ Gravitation, p\'agina
123\\ Dover\\}

\section{Las Mareas}

Uno  de los  grandes  \'exitos   de  Newton  fue  que  dio  una  primera
explicaci\'on a un fen\'omeno  pr\'oximo a  todos nosotros,  las  mareas.
Todo el  mundo ha o\'{\i}do hablar de que los culpables de las mareas  
son, en primer lugar la Luna, y, en segundo lugar, a gran distancia del primero,
el Sol. Si quien lee \'esto es un beduino que ha vivido siempre lejos 
del mar, comienzo explicando qu\'e son las mareas.

Lo mejor es imaginar que estamos de vacaciones, acampados en una
playa. Lo que  observar\'{\i}amos, ya desde el primer d\'{\i}a, es que
la distancia entre el borde del agua y el lugar donde tenemos
instalada nuestra tienda, no es constante. El agua sube de nivel
\underbar{dos} veces al d\'{\i}a.

Si uno preguntara por ah\'{\i}, quiz\'as nos digan que el agua sube
porque es atra\'{\i}da por la Luna. Si en ese momento ocurre que
la marea est\'a alta y, tambi\'en, que la Luna est\'a visible, arriba en
el cielo, uno se puede quedar tranquilo y quiz\'as no pregunte m\'as.
Pero luego debemos empezar a dudar de la explicaci\'on, porque no
servir\'a cuando la marea vuelva a subir ---dentro de 12 horas--- y la
Luna ya no jale en la direcci\'on esperada. Veamos c\'omo es posible
aclarar este l\'{\i}o.

Imaginemos  estar  en una c\'apsula  espacial,  orbitando en  torno a  la
Tierra. Como ya sabemos, dentro de esta nave {\sl todo} ocurre como si
estuvi\'esemos en un campo gravitacional nulo. 

¿Todo? La verdad es que no. Aqu\'{\i} no podemos usar el principio 
de equivalencia tal como lo explicamos al comienzo, pues dentro de la 
c\'apsula el campo gravitatorio  \underbar{no es uniforme}. 
 Esto hace que s\'{\i} 
podamos inferir que estamos dentro de un campo gravitacional.

\begin{figure}[!h]
\centering{\includegraphics[scale=0.4]{grav/cap06_fig05}}
\caption{Experimentando dentro de un campo gravitacional
inhomog\'eneo.\label{cap6:f5}}
\end{figure}

Para empezar,  si nos fu\'esemos a los extremos de  la nave y all\'{\i} 
dej\'asemos flotando en el aire a  dos objetos,  \'estos terminar\'{\i}an 
por chocar, pues las fuerzas gravitacionales  sobre  ellos  no  
son  exactamente paralelas; las componentes  $ F_{\theta} $ no son 
compensadas por ninguna otra fuerza y las part\'{\i}culas aceleran,
una hacia la otra.

Otra consecuencia de la desuniformidad del campo dentro de la
c\'apsula ser\'{\i}a que,  si el astronauta  deja  ``flotar'' 
una gota de l\'{\i}quido, la gota  no toma una forma  perfectamente 
esf\'erica sino  la  de  un elipsoide,  levemente achatado.
Veamos la raz\'on de este achatamiento.

Ya sabemos que debemos esperar fuerzas ``horizontales''
no compensadas (fuerzas ortogonales con los radios), ya que las
l\'{\i}neas de campo convergen en el centro de la Tierra. Dicho de otro modo, 
debemos esperar fuerzas que act\'uen sobre la gota, apret\'andole la 
cintura. Estas fuerzas son siempre hacia el centro  de la gota. Pero 
tambi\'en  hay  fuerzas radiales importantes, cuyo  origen  no es tan 
intuitivamente claro como en el caso de las fuerzas laterales. 

Supongamos que  justo en el centro de la gota instalamos un sistema de 
coordenadas XYZ, con el eje OZ apuntado hacia afuera, en la 
direcci\'on radial. Supongamos, adem\'as, que el centro de la Tierra 
est\'a en el punto \hbox{$(0,0,-R)$ }. \medskip 

{Si en el origen de este sistema de referencia que se va moviendo
junto con la gota ---y, por lo tanto, se ve movi\'endose junto con la 
c\'apsula--- hay una part\'{\i}cula de masa $m,$ entonces la fuerza 
gravitacional sobre ella ser\'{\i}a  $ F_o = K/R^2 $, en donde naturalmente 
$ K = GMm$,  siendo $M$ la masa de la  Tierra, $m$ la masa de la 
part\'{\i}cula y $R $ la distancia del centro de la gota,
al centro de la Tierra.} 

Pero una part\'{\i}cula que no est\'e en el centro mismo de
la gota, sino en el punto \hbox{$(0,0,z),$ } experimentar\'a
una fuerza levemente distinta:
\begin{align}
\label{cap6:ec0}
F_1 = K/(R + z)^2.
\end{align}
Teniendo presente que ambas fuerzas est\'an dirigidas hacia el centro
de la Tierra, la diferencia entre ellas la podemos escribir 
%
$$ -\frac{K}{(R+z)^2 } - \frac{-K}{R^2} =  2z  \frac{K}{R^3} = 2z
\frac{K}{R^3} $$

Lo anterior muestra que, en la direcci\'on radial, respecto al
origen del sistema de coordenadas instalado en la gota, hay una fuerza
de tipo \underbar{repulsivo}, ya que act\'ua desde el origen hacia 
afuera:
%
\begin{align}
\label{cap6:ec2}
F_z = + 2z \frac{K}{R^3}
\end{align}

La gota se encuentra sometida a fuerzas que la estiran, en la 
direcci\'on del campo gravitatorio terrestre. Esto se debe a que este 
campo no es uniforme. Por
razones que ser\'an evidentes dentro de poco, a este tipo de
fuerzas se las llama {\sl fuerzas mareales}. Este es tambi\'en
el tipo de fuerzas que experimentar\'{\i}a el que se acerque
a un ``hoyo negro''. Mientras que no sentimos nada especial cuando
caemos en un campo uniforme, en un campo no--uniforme 
experimentar\'{\i}amos tensiones.

As\'{\i} \  como el resultado (\ref{cap6:ec2}) pudimos  haberlo encontrado diferenciando a la
fuerza $ F  =  -K/(R+z)^2, $   respecto  a    $z,$
del mismo modo podemos encontrar las fuerzas que aparecen si, desde
el centro de la gota, nos desplazamos cortas distancias, ya sea en
las direcciones $X$ o $Y.$ Los resultados  son
\begin{align}
\label{cap6:ec3}
F_x = - x \frac{K}{R^3}  \hskip1cm \hbox{y} \hskip1cm  F_y = - y \frac{K}{R^3}
\end{align}

Estas fuerzas son las culpables del ``acinturamiento'' de la
gota.

As\'{\i} \  como hay tempestades en un vaso de agua, hay mareas en
una l\'agrima; la  deformaci\'on  de esta  gota es justamente una
marea a peque\~na escala.

Nosotros los terr\'{\i}colas,  viajamos en  una nave  
espacial llamada Tierra y, aunque estamos acostumbrados a pensar  que 
la Luna nos rinde  homenaje  girando  en torno a  nosotros,  
la rotaci\'on es rec\'{\i}proca. Nosotros tambi\'en giramos en  
torno a  ella, sumergidos en  su  campo  gravitatorio,  campo  
que para nosotros  \underbar{no}  es uniforme.  Por lo tanto,  todo  
lo  que hemos dicho respecto al achatamiento de la gota de agua, en 
la c\'apsula espacial,  es aplicable a  las gotas de agua que nosotros 
nos fabriquemos aqu\'{\i}   en la Tierra.  

Si hemos visto muchas gotas de agua en nuestra vida y nunca
hemos percibido su achatamiento,  las  razones son varias.  En primer
lugar,  nuestras  l\'agrimas  son  fuertemente  deformadas  por 
la fricci\'on con el aire  y toman la forma caracter\'{\i}stica 
de las l\'agrimas. 

Una gota de aceite, sumergida en un l\'{\i}quido de igual densidad
y con el cual no se mezcle, toma una forma que es ---pensamos--- una
esfera perfecta, porque aqu\'{\i} lo que domina es la tensi\'on
superficial y ella determina la forma  de equilibrio de la gota. 
A\'un  con  gotas  de   aceite  suspendidas  en  otro  l\'{\i}quido  el
achatamiento  esperado  no se observa,   porque    las  gotas  de  que
disponemos  son  muy  peque\~nas. 

Sin embargo, como la Tierra est\'a casi completamente cubierta de 
agua, con poco esfuerzo podemos imaginar una gran gota de agua del tama\~no de 
la Tierra y sacar unas pocas cuentas, para tener una mejor idea de la forma de 
esta supergota.

Si la Tierra no girase sobre su eje ni hubiese planetas o soles vecinos
que la perturbasen, esta capa de agua tendr\'{\i}a una superficie 
totalmente esf\'erica. La superficie del agua  contenida en  un  vaso es  
plana y horizontal, porque, si no fuese  plana, no estar\'{\i}a  en 
equilibrio.  La superficie del agua es una superficie equipotencial:  
si  estuviera m\'as levantada de un lado, todo el mundo sabe lo 
que pasar\'{\i}a. 

En primera aproximaci\'on, en las vecindades de la Tierra
las superficies equipotenciales son  planos 
horizontales;  pero,  si  el campo  no  es  uniforme,  las
superficies equipotenciales deben tener otra forma. 

Aprovechando estas ideas, vamos a tratar de deducir la forma de la
gran capa de agua que pr\'acticamente cubre toda la Tierra.
Nuestra estrategia de c\'alculo ser\'a la siguiente: reconociendo 
que nuestra supergota est\'a sumergida en el campo no--uniforme
producido por la Luna, calcularemos el potencial de nuestros mares en cada 
punto. Una vez hecho esto reconoceremos que, para que haya equilibrio, la 
superficie de la gota debe ser una superficie equipotencial. Esto nos dar\'a 
una idea de la forma que tienen los mares.
%
\marginpar{G.M. Kapoulitsas\\ Eur. J. Phys. \\
6, 201-207, (1985)\\}
  
Conviene observar, desde la partida, que esta  teor\'{\i}a  de las mareas  que
estamos construyendo ser\'a apenas una aproximaci\'on,  ya que tratamos al
asunto como si fuera un problema de est\'atica: no tomamos en cuenta el
hecho de que la Tierra est\'a girando y de que en el oc\'eano hay depresiones 
m\'as o menos profundas de tal manera que, el agua en ellas, puede 
oscilar como el agua en un plato de caldo, as\'{\i} es que podr\'{\i}a 
haber resonancias, etc. Quien desee mayores detalles puede encontrarlos
en el trabajo de G.M. Kapoulitsas.

\begin{figure}[!h]
\centering{\includegraphics[scale=0.4]{grav/cap06_fig06}}
\caption{Gota enorme girando en torno a la Luna.\label{cap6:f6}}
\end{figure}

Entonces, la situaci\'on  es como en  la figura \ref{cap6:f6}:
tenemos una gran gota de agua de radio  $R,$  donde $R$ es el radio
de la Tierra. Esta gota de agua est\'a en una \'orbita circular de radio
$R_o$ en torno al centro de masa Tierra-Luna  y el origen del sistema de  coordenadas est\'a
en el  mero  centro de  la  gota  (que  es  tambi\'en  el centro  de  la
Tierra).

Si tomamos la expresi\'on (\ref{cap6:ec2}) y (\ref{cap6:ec3}), basta calcular algunas derivadas
para reencontrar las fuerzas mareales, as\'i que el potencial $U$ 
corresponde  a  las fuerzas mareales  $(F_x,F_y,F_z)$ que estamos 
estudiando.
%
$$ U = -\frac{GMm}{R_o^3}(z^2 - \frac{1}{2} x^2 - \frac{1}{2} y^2) $$
%
en que  ahora  $M$  debe ser la  masa de la Luna y  $m$ la masa de  un
elemento de volumen de agua localizado en $(x,y,z)$.

En primera aproximaci\'on,  la superficie del agua  no difiere mucho de
la superficie  de una esfera de radio $R,$ de modo que, siendo $ R^2 =
x^2 + y^2 + z^2 $, la expresi\'on anterior se puede escribir como
%
\begin{align*}
U & = -\frac{GMm}{R_o^3} \left( \frac{3}{2} z^2 - \frac{1}{2} R^2 \right) \\
&= -\frac{GMm R^2}{2R_o^3} \left( 3 \left(\frac{z}{R}\right)^2 - 1 \right) \\
&= -\frac{GMm R^2}{2R_o^3} \left( 3\cos^2\theta -  1 \right) 
\end{align*}
%
en donde $\theta$ es el \'angulo que se indica en el dibujo.

La  experiencia nos  indica que  las  variaciones  de  altura del agua
debido a las  mareas  no  son muy  grandes,   de  modo   que  la parte
de  la energ\'{\i}a potencial del agua,  debido al campo terrestre,  se puede
aproximar    mediante  la  conocida  relaci\'on    $mgh$.  Entonces,  el
potencial total es
%
\begin{align}
U = mgh - \frac{GMm R^2}{2R_o^3}(3\cos^2\theta -1)
\end{align}

Suponiendo que la superficie del agua corresponde a una equipotencial,
podemos poner
%
\begin{align}
gh - \frac{GM R^2}{2R_o^3}(3\cos^2\theta -1) = C
\end{align}
%
en que  $C$ es una constante.

Esta  relaci\'on nos da la altura $h$   del agua,  respecto a  una
esfera de radio $R$,  en funci\'on de la posici\'on,  el \'angulo $\theta$.

Ahora, el primer y sorprendente resultado:  en todo instante hay dos lugares  de marea
alta, los que corresponden a $\theta = 0 $ y $\theta = \pi $.  Decimos
que esto es sorprendente porque, a\'un los que repiten que  las mareas se
deben a la atracci\'on lunar,  piensan  que debido a esa  
atracci\'on,  el agua de los  mares toma la forma de una esfera con  
\underbar{un} ``chich\'on'' \marginpar{En M\'exico: chipote}
 en  la  direcci\'on de la Luna. Y acabamos de descubrir que los
chichones son dos:  uno, dirigido hacia la Luna; el otro,  en sentido
contrario. 

Newton se di\'o cuenta de estas \underbar{dos} protuberancias porque Londres
es un puerto muy cercano al mar.\marginpar{Este es un resultado sorprendente. Durante a\~nos pens\'e que Newton se hab\'ia dado cuenta de esto porque, quiz\'as m\'as de una vez, habr\'ia acampado cerca del mar. Pero acabo de leer una de sus biograf\'ias, la que afirma --entre otras cosas curiosas-- que Newton jam\'as estuvo en playa alguna.}

Este  es  el  principal resultado  de nuestra tosca teor\'{\i}a  
de las mareas, pero podemos dar un paso m\'as. Como la marea alta corresponde
a $\theta = 0,$  mientras que la baja ocurre en $\theta = \pi /2,$
podemos  calcular la  diferencia  entre  las  alturas  extremas.  Se
encuentra que
%
$$ h_{\max} -  h_{\min} = \frac{3GMR^2}{2gR_o ^3} = 53 \hbox{\ cent\'{\i}metros} $$

El  que   resulten 53  cent\'{\i}metros y no 53 kil\'ometros, es  
tranquilizador; pero, debido a  las numerosas simplificaciones 
hechas, no  debemos tomar demasiado en serio a estos 53 cent\'{\i}metros.
Son producto, principalmente, de nuestra buena suerte. El problema de las 
mareas es un problema din\'amico mucho m\'as complicado, pero lo 
expuesto basta como primer encuentro con el tema.


